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究竟如何將引力量子化是理論物理學家一直費解的問題。弦論目前是唯一比較成熟的量子引力模型，最近又有一項新的工作證明這一模型的潛力。研究人員使用了在理論物理普遍應用的“自舉”（bootstrap）方法，給出了修正引力模型 α 參數(shù)的下限，而這與弦論給出的值竟然驚人的相似。
1915 年愛因斯坦提出廣義相對論，這是一個很成功的理論。目前來看，在描述一切大尺度上的現(xiàn)象上面這一理論都取得了驚人的成功。然而在小尺度上，愛因斯坦引力卻面臨著問題，比如我們考慮量子引力的時候，引力子的圈圖是發(fā)散的，這意味著引力是不可重整的。在小尺度上愛因斯坦的引力理論需要修正。
但是，理論物理學家并不知道具體怎樣修正，甚至不知道是否需要對引力進行量子化。不過，畢竟引力波和電磁波在很多性質(zhì)上都具有驚人的相似性，那么很自然地，理論物理學家會相信量子引力的存在。探索引力的微觀本質(zhì)成了很多學者研究的重要目標。弦論是目前唯一的比較成熟的量子引力模型，當然也有一些其他的量子引力模型。
對理論參數(shù)化
在大尺度上，理論必須回到廣義相對論，因此理論物理學家的做法是將小尺度上的理論進行參數(shù)化，設(shè)置一些對于愛因斯坦引力的修正參數(shù) α、β 等。其中 α 是量子引力對低能的愛因斯坦引力的最低階，也是最重要的修正；另外一些更小的修正項的系數(shù)為 β，等等。不同的量子引力模型會給出不同的 α、β 值。這些參數(shù)越大，代表這個量子引力模型在低能下對于愛因斯坦的修正越大。
從弦論出發(fā)，我們可以計算出 α 的精確值。那么弦論究竟是不是那個唯一正確的量子引力模型呢？現(xiàn)在我們還無法回答這個問題，但最近一項工作為其添加了更強的證據(jù)。以色列特拉維夫大學 Andrea Guerrieri、瑞士洛桑聯(lián)邦理工學院 João Penedones 和加拿大圓周理論物理研究所的 Pedro Vieira 在《物理評論快報》（PRL）發(fā)表論文，他們給出了參數(shù) α 的下限，表明弦論處于一片“花園”之中。
文章最近有一項名為“Where is String Theory in the Space of Scattering Amplitudes”的工作。這個工作中舉了可以進行精確計算的 IIA 型弦論![]() 和 IIB 型弦論![]() 。我們現(xiàn)在還不能知道其他量子引力理論給出的 α 值是多少。
正定性的限制
一般來說，正確的量子引力模型需要散射振幅滿足很好的解析性質(zhì)。另一方面，散射振幅在高能的情況下必須是有限的。Andrea Guerrieri 等人的文中構(gòu)造了這樣一個函數(shù)
在 z 為無窮大的時候是有限的。圖為 g (z) 這個函數(shù)在復平面上的圍道。從圍道積分即可推出 α 跟散射振幅的關(guān)系：
由光學定理可以導出 α≥0。這也就是一般所說的正定性限制。顯而易見，正確的量子引力模型 α≥0。而 α＜0 的區(qū)域，論文作者比喻為“沙漠”。
Bootstrap
在三位物理學家的引力量子化工作中，他們使用了 Bootstrap 的方法，這是理論物理中常用的方法。Bootstrap 這個詞本身是指鞋后面用于提鞋的東西，也表示靠自身的能力來發(fā)展，在物理中一般譯為“靴絆”或“自舉”。它的意思是從理論的本身的自洽性條件出發(fā)，對這個理論的參數(shù)自動做出一些限制，是一種非微擾處理方法。Bootstrap 在理論物理中的應用相當廣泛，最多的應用集中在共形場論這個領(lǐng)域。
Bootstrap 方法的主要思路是，不從具體的高能模型出發(fā)，而是把關(guān)注點放在假設(shè)高能模型所一定具有的性質(zhì)上面。幾年前，Andrea Guerrieri 等人首先成功將這種方法應用在 π 介子的相互作用上，這次他們目標是引力。他們使用的是散射振幅 Bootstrap：首先寫出高能理論滿足一定條件的散射振幅所具有的形式，然后把這個散射振幅在低能進行展開。
下面是散射振幅的一個一般形式：
其中 GN 是牛頓常數(shù)。s, t, u 是曼德斯坦不變量，ρ 是跟曼德斯坦不變量所構(gòu)成的函數(shù)。他們從高能理論所必須滿足的性質(zhì)（洛倫茲不變，交叉對稱性，解析性和幺正性）出發(fā)，推出了這里面的一些系數(shù) α(abc) 所必須滿足的性質(zhì)。接著，他們再把這個滿足高能理論的良好性質(zhì)的函數(shù)在低能，也就是 s 很小的極限下面進行展開。此時散射振幅形式如下：
由于散射振幅的高能展開式的形式很長，所以他們必須對 N 做一個有限大的截斷，得到低能理論的 α 值之后再進行插值，得出 N 趨于無窮的時候，α 必須滿足的條件。經(jīng)過數(shù)值計算，最終得到 α≥0.13±0.02。
因為弦論一共有五種，Type IIA，Type IIB，Type I，SO (32) 雜化弦和 E8×E8 雜化弦，這幾種弦論統(tǒng)一在了 M 理論的框架下。這項工作中他們也出了弦理論可以進行精確計算的 IIA 型弦論和 IIB 型弦論的 α 參數(shù)，分別是 和![]() 。也就是說，弦論預言給出的參數(shù) α≥0.14，這與 Bootstrap 方法驚人的相似，恰好覆蓋了弦理論給出的限制。因此作者比喻這里是弦理論的花園，如作者所說，“在一個絕佳的位置，一直延伸到花園的邊緣，與沙漠被一個可怕的沼澤隔開。（It is in a prime location, stretching all the way to the edge of the garden, separated from the desert by a formidable swamp.）”不過，我們現(xiàn)在還不能知道其他量子引力理論給出的 α 值是多少。
花園就是所有量子引力模型必須在的地方，而弦論占滿了整個花園。
小結(jié)
這篇文章的目的是，想找到弦論在所有符合量子引力要求的高能理論模型中所占有的位置。引力的低能有效理論的散射振幅中的參數(shù)給出了具體的高能理論的特性。不同的高能理論的模型能夠給出不同的 α 值。從最簡單的，散射振幅必須滿足的解析性和幺正性出發(fā)，我們可以快速排除 α＜0 的沙漠區(qū)域，這也就是所謂的正定性條件。Andrea Guerrieri 等人的工作希望對高能的散射振幅進行更嚴格的約束，從而給出更嚴格的 α 所必須滿足的條件。我們可以看到，弦論幾乎占據(jù)了所有被 Bootstrap 方法允許的區(qū)域。這給弦論作為自洽的量子引力模型提供了更強的證據(jù)。
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